LÝ THUYẾT PHÉP ĐỐI XỨNG QUA MẶT PHẲNG ĐỐI XỨNG LÀ GÌ ? SỐ MẶT PHẲNG ĐỐI XỨNG CỦA HÌNH TỨ DIỆN ĐỀU

-

Phép biến hình F trong không khí là một quy tắc nhằm với mỗi điểm M (trong không gian), khẳng định được một điểm M’duy nhất điện thoại tư vấn là ảnh của điểm M qua phép trở nên hình F. Ta còn nói F đổi thay điểm M thành điểm M’và kí hiệu M’= F(M).

Bạn đang xem: Mặt phẳng đối xứng là gì

Qua phép đổi thay hình F, từng hìnhđược biến thành hìnhgồm toàn bộ các hình ảnh của những điểm ở trong hình.

Sau đây ta xét phép đối xứng qua khía cạnh phẳng, đó là 1 phép trở nên hình hay gặp.1. Phép đối xứng qua mặt phẳng

ĐỊNH NGHĨA 1 (h.7)

Phép đối xứng qua khía cạnh phẳng(P) là phép thay đổi hình vươn lên là mỗi điểm ở trong (P) thành bao gồm nó và vươn lên là mỗi điểm M ko thuộc (P) thành điểm M’sao mang lại (P) là phương diện phẳng trung trực của đoạn thẳng MM’.

*

Hình 7

Nếu phép đối xứng qua mp(P) vươn lên là hai điểm M, N theo lần lượt thành nhị điển M’, N’thì M’N’= MN. (Như vậy nói theo cách khác : phép đối xứng qua khía cạnh phẳng là phép biến đổi hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì).

*

Hình 8

1(để chứng tỏ định lí 1)

NếuM, Nnằn bên trên (P) thìM’N’trùngMN’trùngNnênM’N’=MN.

Nếu bao gồm ít nhất một trong những hai điểmM, Nkhông nằm tại (P) thì tất cả mp(Q) đi qua các điểmM, N, M’, N’.Hãy dùng kỹ năng hình học tập phẳng để hội chứng minhM’N’=MN.

Khi đứng trước một tấm gương phẳng, mỗi cá nhân sẽ nhận thấy hình của bản thân mình ở “phía sau” tấm gương đó (h.9). Phép đối xứng qua mặt phẳng của tấm gương vẫn “biến” mỗi cá nhân thành hình của họ.

*
Hình 9.Ảnh chụp một em nhỏ nhắn trước gương

Hình 10 là ảnh của Tháp Rùa đang soi bóng xung quanh nước hồ hoàn kiếm (Hà Nội). Mặt hồ xem như là một trong những phần của phương diện phẳng, phép đối xứng qua mặt phẳng đó biến đổi Tháp Rùa thành loại bóng của nó.

*

Hình 10.Ảnh chụp Tháp Rùa với bóng của nó

2. Phương diện phẳng đối xứng của một hình

ĐỊNH NGHĨA 2

Nếu phép đối xứng qua khía cạnh phẳng (P) biến đổi hìnhthành chủ yếu nó thì (P) điện thoại tư vấn làmặt phẳng đối xứngcủa hình.Một số ví dụVí dụ 1

Mọi mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu phần đa là mặt phẳng đối xứng của mặt cầu (h.11).

*

Hình 11

Ví dụ 2

Cho tứ diện hồ hết ABCD (h.12). Hotline M là trung điểm của cạnh CD thì phép đối xứng qua mp(ABM) phát triển thành A thành A, B thành B, C thành D, D thành C. Như vậy, phép đối xứng đó biến tứ diện ABCD thành thiết yếu nó, suy xuất hiện phẳng (ABM) thành phương diện phẳng đối xứng của tứ diện ABCD.

Hình tứ diện đa số ABCD gồm sáu phương diện phẳng đối xứng. Đó là các mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện.

*
Hình 12

Ví dụ 3

Xét hình lập phương ABCD.A’B’C’D’(h.13).

*

Hình 13

Nếu (P) là phương diện phẳng trung trực của cạnh AB thì nó cũng chính là mặt phẳng trung trực của cạnh AB thì nó cũng là mặt phẳng trung trực của các cạnh CD, A’B’và C’D’, vì vậy nó là khía cạnh phẳng đối xứng của hình lập phương. Tương tự, những mặt phẳng trung trực của các cạnh AD, và AA’cũng là hầu hết mặt phẳng đối xứng của hình lập phương.

Gọi (Q) là phương diện phẳng trải qua hai cạnh đối lập AB và C’D’thì (Q) là khía cạnh phẳng đối xứng của hình lập phương vày phép đối xứng qua (Q) biến đổi mỗi điểm A, B, C’, D’thành chính nó và thay đổi điểm A’thành D, D thành A’,C thành B’và B’thành C.

?1Như vậy hình lập phương gồm bao nhiêu phương diện phẳngđối xứng ?3. Hình chén bát diện rất nhiều và khía cạnh phẳng đối xứng của nóHình 14 là một hình đa diện có 8 mặt là những tam giác số đông :EAB, EBC, ECD, EDA, FAB, FBC, FCDFDA,có 6 đỉnhA, B, C, D, E, F, từng đỉnh là đỉnh tầm thường cho 4 tam giácđều. Hình đó gọi làhình chén bát diện đều(hayhình tám khía cạnh đều) với được kí hiệu làABCDEF.

*

Hình 14

Tính chất

Bốn đỉnh A, B, C, D nằm trong một khía cạnh phẳng với đó là 1 trong những mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều ABCDEF.Chứng minh

Vì mỗi điểmA, B, C, Dcách số đông hai điểmEFnên chúng nằm xung quanh phẳng trung trực của đoạn thẳngEF. Phép đối xứng qua khía cạnh phẳng đó trở nên mỗi điểmA, B, C, Dthành bao gồm nó và thay đổi điểmEthànhF,FthànhEnên mp(ABCD) là phương diện phẳng đối xứng của bát diện đềuABCDEF

2Tìm thêm các mặt phẳng đối xứng khác của hình chén diện đều.4. Phép dời hình với sự bằng nhau của các hìnhPhép dời hình trong không khí được định nghĩa tựa như như trong khía cạnh phẳng.Định nghĩa phép dời hình

Một phép biến đổi hình F trong không gian được hotline làphép dời hìnhnếu nó bảo toàn khoảng cách giữa nhị điểm bất cứ (có nghĩa là nếu F vươn lên là hai điểm bất cứ M, N theo thứ tự thành nhì điểm M’, N’thì M’N’=MN).Từ khái niệm đó, ta suy ra phép dời hình biến đường trực tiếp thành đường thẳng, phương diện phẳng thành khía cạnh phẳng,… .Hiển nhiên phép đối xứng qua phương diện phẳng là 1 phép dời hình.Phép đồng nhất(biến từng điểm thành bao gồm nó) là 1 trong những phép dời hình.Rõ ràng nếu như thực hiện liên tiếp các phép dời hình thì ta cũng có kết quả là phép dời hình. Có thể nói rằng :Hợp thành của rất nhiều phép dời hình là phép dời hình.Một số lấy ví dụ như về phép dời hìnhNgoài phép đối xứng quanh khía cạnh phẳng, ta thường gặp mặt một số phép dời hình tiếp sau đây :

Phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vectơ

*
là phép biến chuyển hình đổi thay mỗi điểmMthành điểmM’sao cho
*
.

Phép đối xứng qua đường thẳng(còn call làphép đối xứng trục) : đến đường thẳngd, phép đối xứng qua con đường thẳngdlà phép đổi thay hình biến đổi mỗi điểm thuộcdthành bao gồm nó và trở nên mỗi điểmMkhông thuộcdthành điểmM’sao cho trong mặt phẳng (M, d),dlà mặt đường trung trực của đoạn thẳngMM’.

Phép đối xứng sang một điểm(còn hotline làphép đối xứng tâm) : cho điểmO, phép đối xứng qua điểmOlà phép biến hình đổi thay mỗi điểmMthành điểmM’sao cho

*
.Định nghĩa nhì hình bởi nhau

Hai hìnhgọi làbằng nhaunếu bao gồm một phép dời hình biến hình này thành những hình kia.

Xem thêm: Cách viết cover letter cho sinh viên mới ra trường, mẫu thư ứng tuyển cho sinh viên mới ra trường

?2Hai mặt cầu có bán kính bằng nhau thì có bằng nhau hay không ? vày sao ?Ví dụ 4.Cho hình chóp tam giác phần nhiều S.ABC. điện thoại tư vấn A’, B’, C’lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA với AB. Lúc đó hai tứ diện SABA’và SBCB’bằng nhau.Giải(h.15)

*

Hình 15

Thật vậy, phép đối xứng qua mp(SAA’) biến những điểmS, A, B, A’lần lượt thành các điểmS, A, C, A’và phép đối xứng qua mp(SCC’) biến các điểmS, A, C, A’lần lượt thành các điểmS, B, C, B’. Như vậy, qua nhị phép đối xứng trên, tư đỉnhS, A, B, A’của tứ diệnSABAbiến thành tứ đỉnhS, B, C, B’của tứ diệnSBCB’nêu theo định nghĩa, hai tứ diện đó bằng nhau. ¢ĐỊNH LÍ 2

Hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’bằng nhau nếu bọn chúng có các cạnh khớp ứng bằng nhau, tức thị AB=A’B’, BC=B’C’, CD=C’D’, AC=A’C’, BD=B’D’.Chứng minh.Ta xét các trường hòa hợp sau :

Trường hợp 1(h.16).Hai hình tứ diện có cha cặp đỉnh khớp ứng trùng nhau,chẳng hạnAtrùngA’, BtrùngB’, CtrùngC’, DkhácD’.

*

Hình 16

Khi đó, từng điểmA, B, Ccách phần đông hai điểmDD’trên mp(ABC) là khía cạnh phẳng trung trực của đoạn thẳngDD’,suy ra phép đối xứng qua mp(ABC) biến những đỉnhA, B, C, Dlần lượt thành các đỉnhA’, B’, C’, D’.Vậy nhị tứ diệnABCDA’B’C’D’bằng nhau.

Trường hợp 2(h.17). Nhị hình tứ diện đó có hai cặp đỉnh tương xứng trùng nhau,chẳng hạnAtrùngA’, BtrùngB’.

*

Hình 17

Khi đó hotline (P) là khía cạnh phẳng trung trực của đoạn thẳngCC’thì (P) đi quaAB(vìABcùng biện pháp đều nhị điểmCC’). Vậy phép đối xứng qua mp(P) sẽ trở thành cá điểmA, B, C, Dlần lượt thành các điểmA’, B’, C’, D1và cho nên tứ diệnABCDbằng tứ diệnA’B’C’D1.

Vì hai tứ diệnA’B’C’D1A’B’C’D’có những cạnh tương ứng bằng nhau với có ba đỉnh tương xứng trùng nhau cần theo trường vừa lòng 1, chúng bằng nhau.

Trường thích hợp 3. Nhị hình tứ diện bao gồm một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau,chẳng hạnAtrùngA’.

Khi đó, điện thoại tư vấn (Q) là phương diện phẳng trung trực củaBB’thì (Q) đi quaA(vìAcách đềuBB’). Vậy phép đối xứng qua (Q) biến các điểmA, B, C, Dlần lượt thành các điểmA’, B’, C1, D1và vì đó, nhì tứ diệnABCDA’B’C1D1bằng nhau. Phương diện khác, nhị tứ diệnA’B’C1D1A’B’C’D’có những cạnh tương ứng bằng nhau và tất cả hai cặp đỉnh tương ứng trùng nhau buộc phải theo trường vừa lòng 2, chúng bởi nhau.

Trường hợp 4. Nhì hình tứ diện đó không có cặp đỉnh tương ứng nào trùng nhau.

Khi đó call (R) là mặt phẳng trung trực củaAA’, phép đối xứng qua (R) biến các điểmA, B, C, Dlần lượt thành các điểmA’, B1, C1, D1nên tứ diệnABCDbằng tứ diệnA’B1C1D1: mà lại hai tứ diệnA’B1C1D1A’B’C’D’có cạnh tương ứng bằng nhau cùng một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau, vì thế chúng bằng nhau theo trường hợp 3. ¢HỆ QUẢ 1

Hai tứ diện đều phải có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.

HỆ QUẢ 2

Hai hình lập phương tất cả cạnh bằng nhau thì bằng nhau.Chứng minh(h.18)

*

Hình 18

Giả sửABCD. A’B’C’D’MNPQ.M’N’P’Q’là nhì hình lập phương gồm cạnh phần đông bằnga. Nhị tứ diệnABDA’MNQM’có những cạnh tương xứng bằng nhau nên bởi nhau, tức là có phép dời hìnhFbiến các điểmA, B, D, A’lần lượt thànhM, N, Q, M’. VìFlà phép dời hình nênFbiến hình vuông thành hình vuông, vì đóFbiến những điểmCthành điểmP, biến chuyển điểmB’thànhN’,biến điểmD’thànhQ’và biến các điểmC’thànhP’.Như vậy, nhị hình lập phương đã cho bằng nhau. ¢

Câu hỏi và bài bác tập

6.GọiĐlà phép đối xứng qua khía cạnh phẳng (P) vàalà một đường thẳng nào đó. Mang sửĐbiến đổi đường thẳngathành con đường thẳnga’. Trong trường vừa lòng nào thì :

a)atrùng vớia’;

b)asong songa’;

c)acắta’;

d)aa’chéo nhau ?7.Tìm những mặt phẳng đối xứng của các hình dưới đây :

a) Hình chóp tứ giác đầy đủ ;

b) Hình chóp cụt tam giác đầy đủ ;

c) Hình vỏ hộp chữ nhật nhưng mà không có mặt nào là hình vuông.8.Cho hình lập phươngABCD. A’B’C’D’.Chứng minh rằng :

a) các hình chópA. A’B’C’D’C’.ABCDbằng nhau.

b) các hình lăng trụABC.A’B’C’AA’D’.BB’C’bằng nhau.9.Chứng minh rằng những phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng vai trung phong là phần đa phép dời hình.10.Chứng minh rằng :

a) hòa hợp thành của nhị phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là 1 phép tịnh tiến ;

b) thích hợp thành của nhì phéo đối xứng qua hai mặt phẳng (P) với (Q)vuông góc cùng với nhau là 1 trong phép đối xứng qua đường thẳng.

Mặt phẳng đối xứng của 1 hìnhĐịnh nghĩa: nếu như phép đối xứng qua khía cạnh phẳng (P) thay đổi hình (H) thành thiết yếu nó thì (P) điện thoại tư vấn là mặt phẳng đối xứng của hình (H)

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

======


Thuộc nhà đề:Toán lớp 12 Tag với:Đa diện đều

Bài liên quan:


Reader Interactions


Trả lời Hủy

Email của các bạn sẽ không được hiển thị công khai. Những trường đề xuất được khắc ghi *

Bình luận *

Tên *

Email *

Trang web

Δ


Sidebar chính


MỤC LỤC


mua.edu.vn (2015 - 2023) học tập Toán online - Giải bài xích tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tìm hiểu thêm và đề thi Toán.THÔNG TIN: giới thiệu - contact - bản quyền - sitemap - chính sách - phía dẫn.