Cách xác định cận trong tọa độ cực, tích phân hai lớp trong tọa độ cực
Giải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (Linear
Algebra)Xác suất thốngkê
Phương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luận
Thảo luận về giảitích
Thảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooks
Maths Ebooks
Ví dụ: Xác định cận lấy tích phân sau trong tọa độ cực:
1. D giới hạn bởi :
Bạn đang xem: Cách xác định cận trong tọa độ cực
Trong trường hợp này, việc tìm ra phương trình của 2 tia OA, OB sẽ rất vất vả, đôi khi lại không rơi vào các góc đặc biệt. Và việc tìm ra phương trình của cung lớn, cung nhỏ AB cũng không phải đơn giản.
Tuy nhiên, nếu tịnh tiến tâm đường tròn về góc tọa độ thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều vì sẽ trở về ví dụ 1.
Với miền D có dạng này, trước tiên ta đổi biến. Đặt:
Với miền D cho như trên, nếu làm theo cách thông thường, dù lấy theo phương nào, ta phải chia miền D thành nhiều miền nhỏ. Do đó, việc tính toán sẽ phức tạp.
Dễ dàng nhận thấy miền D bị giới hạn bởi 2 cặp đường thẳng song song. Cặp thứ nhất có dạng:
Đổi biến để tính tích phân là nội dung quan trọng hỗ trợ chúng ta tính được tích phân dễ dàng hơn cách thông thường.
Ta cần tìm $\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy $.
Thực hiện phép đổi biến $$\left\{\begin{array}{l} {x=x(u,v)} \\ {y=y(u,v)} \end{array}\right. \label{3.1.7}\tag{*}$$ Giả sử
Các hàm $x(u,v);{\rm \; }y(u,v)$ liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng $D"$ nằm trong mặt phẳng $Ouv$.Các công thức \eqref{3.1.7} xác định 1 song ánh từ $D"$ lên $D$.$$ J=\frac{D(x,y)}{D(u,v)} =\left|\begin{array}{cc} {x"_{u} } & {x"_{v} } \\ {y"_{u} } & {y"_{u} } \end{array}\right|\ne 0,{\rm \; \; }\forall (u,v)\in D".$$Khi đó ta có công thức đổi biến trong tính tích phân bội hai: $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\iint\limits_{D"}f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv.\label{3.1.8}\tag{7}$$
Ví dụ 5. Tính $\iint\limits_{D}(x+y)(x-y)^{2} dxdy $ với $D$ được giới hạn bởi các đường: $x+y=1;{\rm \; }x+y=3;{\rm \; }x-y=0;{\rm \; }x-y=1$.
Hướng dẫn.
Thực hiện phép đổi biến $\left\{\begin{array}{l} {u=x+y} \\ {v=x-y} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=\frac{1}{2} (u+v)} \\ {y=\frac{1}{2} (u-v)} \end{array}\right..$
Xác định miền $D"$: $D"=\left\{(u,v)\in \mathbb{R}^{2} |1\le u\le 3;0\le v\le 1\right\}$.
Dễ thấy phép đổi biến trên xác định một song ánh từ $D"$ lên $D$.
Ta có $J=\dfrac{D(x,y)}{D(u,v)} =\left|\begin{array}{cc} {\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{2} } & {-\frac{1}{2} } \end{array}\right|=-\dfrac{1}{2} \ne 0$.
Vậy, $$\iint\limits_{D}(x+y)(x-y)^{2} dxdy =\iint\limits_{D"}u.v^{2} |J|dudv =\dfrac{1}{2} \int\limits_{1}^{3}udu \int\limits_{0}^{1}v^{2} dv =\dfrac{2}{3}.$$
Chú ý. Xem thêm: B Cc Và Bcc Trong Email Là Gì, Cc Là Gì, Bcc Là Gì Trong Gmail Và Cách Sử Dụng
Ta vẫn có miền $D"=\left\{(u,v)\in {\rm R}^{2} |1\le u\le 3;0\le v\le 1\right\}$.
Dễ thấy phép đổi biến trên vẫn xác định một song ánh từ $D"$ lên $D$.
Và $\dfrac{1}{J} =\dfrac{D(u,v)}{D(x,y)} =\left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {1} & {-1} \end{array}\right|=-2\ne 0$.
Vậy, $$\iint\limits_{D}(x+y)(x-y)^{2} dxdy =\iint\limits_{D"}u.v^{2} |J|dudv =\dfrac{1}{2} \int\limits_{1}^{3}udu \int\limits_{0}^{1}v^{2} dv =\dfrac{2}{3}.$$
Định nghĩa. Trong mặt phẳng chọn một điểm $O$ cố định gọi là cực và trục $Ox$ gọi là trục cực. Hệ tọa độ xác định bởi cực và trục cực được gọi là hệ tọa độ cực. Vị trí của một điểm $M$ trong mặt phẳng được hoàn toàn xác định bởi 2 số: $r=\overrightarrow{OM}$ được gọi là bán kính vector hay bán kính cực. $\varphi =(Ox,\overrightarrow{OM})$ được gọi là góc cực, là góc định hướng (có chiều quay dương (khi quay trục $Ox$ lên trùng với $\overrightarrow{OM}$) là chiều ngược chiều kim đồng hồ) Cặp số có thứ tự $(r,\varphi )$ được gọi là các tọa độ cực của điểm $M (r\ge 0;{\rm \; }\varphi \in {\rm <}0,2\pi {\rm >}).$ |  |
Công thức tính.
Để tìm mối liên hệ giữa các tọa độ Đề các $(x,y)$ và các tọa độ cực $(r,\varphi )$ của cùng một điểm $M$, ta dựng hệ trục tọa độ Đề các có gốc tại cực, trục hoành trùng trục cực.
Theo định lý về phép chiếu vuông góc ta có $\left\{\begin{array}{l} {x=r\cos \varphi } \\ {y=r\sin \varphi } \end{array}\right. $ (**)
Nếu $r>0;{\rm \; }\varphi \in {\rm <}0,2\pi {\rm >}$ thì (**) xác định một song ánh giữa các tọa độ Đề các và các tọa độ cực (riêng điểm $O(0,0)$ có $r=0;{\rm \; }\varphi $ tùy ý)
Do đó ta có thể xem (**) như một phép đổi biến.
Ta có $J=\dfrac{D(x,y)}{D(r,\varphi )} =\left|\begin{array}{cc} {\cos \varphi } & {-r\sin \varphi } \\ {\sin \varphi } & {r\cos \varphi } \end{array}\right|=r\ne 0$ (trừ điểm $O(0,0)$)
Do đó, ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực:
$$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\iint\limits_{D"}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rd\varphi dr.\label{3.1.9}\tag{8}$$
Chú ý.
Công thức \eqref{3.1.9} vẫn đúng trong trường hợp chứa gốc $O(0,0)$.Nếu $D$ được giới hạn bởi $\left\{\begin{array}{l} {r_{1} (\varphi )\le r\le r_{2} (\varphi )} \\ {\varphi _{1} \le \varphi \le \varphi _{2} } \end{array}\right.$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực: $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int _{\varphi _{1} }^{\varphi _{2} }d\varphi \int _{r_{1} (\varphi )}^{r_{2} (\varphi )}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr\label{3.1.10}\tag{9}.$$Nếu $D$ là hình tròn tâm trùng cực, bán kính $R$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực: $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{R}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr\label{3.1.11}\tag{10}.$$Nếu $D$ được giới hạn bởi $\left\{\begin{array}{l} {r_{1} \le r\le r_{2} } \\ {\varphi _{1} \le \varphi \le \varphi _{2} } \end{array}\right. $ và $f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )=f_{1} (\varphi ).f_{2} (r)$ thì ta có công thức tính tích phân bội 2 trong hệ tọa độ cực như sau: $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int _{\varphi _{1} }^{\varphi _{2} }f_{1} (\varphi )d\varphi \int _{r_{1} }^{r_{2} }f_{2} (r)rdr\label{3.1.12}\tag{11}.$$Ví dụ 6.
Tính tích phân $\iint\limits_{D}(x^{2} +y^{2} )dxdy $ với $D$ là hình tròn $(O,2)$.
Hướng dẫn.
Chuyển sang tọa độ cực, ta có $$\iint\limits_{D}(x^{2} +y^{2} )dxdy =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{2}r^{2} rdr =8\pi.$$
