Cách Tính Lũy Thừa Nhanh Nhất Hay Nhất, Cách Tính Số Mũ Nhanh

Luỹ thừa với số mũ tự nhiên có một số dạng toán cơ bản mà các em thường gặp, những dạng toán về luỹ thừa cũng có khá nhiều bài tương đối khó.Bạn đang xem: Cách tính lũy thừa nhanh nhất

Vì vậy trong bài viết này chúng ta cùng tổng hợp các dạng toán về luỹ thừa với số mũ tự nhiên,qua đó giúp các em cảm thấy việc giải các bài tập về luỹ thừa không phải là vấn đề làm khó được chúng ta.

Bạn đang xem: Cách tính lũy thừa nhanh

I. Kiến thức cần nhớ về Luỹ thừa

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

- Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a :

an= a.a..a (n thừa số a) (n khác 0)

- Trong đó: a được gọi là cơ số.

n được gọi là số mũ.

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

- Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.

am. an= am+n

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

-Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

am: an= am-n(a 0, m 0)

4. Lũy thừa của lũy thừa.

(am)n= am.n

- Ví dụ : (22)4= 22.4= 28

5. Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác sơ số.

am. bm= (a.b)m

- Ví dụ : 33. 23= (3.2)3= 63

6. Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số.

am: bm= (a : b)m

- Ví dụ : 64: 34= (6 : 3)4= 24

7. Một vài quy ước.

1n= 1; a0= 1

- Ví dụ : 12018= 1 ; 20180= 1

Dạng 1: Viết gọn 1 tích bằng cách dùng luỹ thừa

* Phương pháp: Áp dụng công thức:an= a.a..a

Bài1.(Bài 56 trang 27 SGK Toán 6): Viết gọn các tích sau bằng cách dùng lũy thừa :

a) 5.5.5 5.5.5 ; b) 6.6.6.3.2 ;

c) 2 2.2.3.3 ; d) 100.10.10.10.

* Lời giải:

a) 5.5.5.5.5.5 = 56

b) 6.6.6.3.2 = 6.6.6.6 = 64;

c) 2.2.2.3.3 = 23.32;

d) 100.10.10.10 = 10.10.10.10.10 = 105.

Bài2. (Bài 57 trang 28 SGK Toán 6): Tính giá trị các lũy thừa sau :

a) 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210;

b) 32, 33, 34, 35;

c) 42, 43, 44;

d) 52, 53, 54;

e) 62, 63, 64.

* Lời giải:

a) 23= 2.2.2 = 8 ; 24= 23.2 = 8.2 = 16.

- Làm tương tự như trên ta được :

25= 32 , 26= 64 , 27= 128 , 28= 256, 29= 512 , 210= 1024.

b) 32= 9, 33= 27 , 34= 81, 35= 243 .

c) 42 = 16, 43= 64, 44= 256 .

d) 52= 25, 53= 125, 54= 625.

e) 62= 36, 63= 216, 64= 1296.

Bài3. (Bài 65 trang 29 SGK Toán 6): Bằng cách tính, em hãy cho biết số nào lớn hơn trong hai số sau?

a) 23và 32; b) 24và 42;

c)25và 52; d) 210và 100.

* Lời giải

a) 23= 8, 32= 9 . Vì 8 32.

b) 24=16 , 42=16 nên 24= 42.

Xem thêm: Cách xóa danh bạ trên iphone 4, cách nào để xóa danh bạ trên iphone nhanh chóng

c) 25= 32 , 52= 25 nên 25> 52.

d) 210= 1024 nên 210>100.

Bài 4 :Viết gọn các tích sau dưới dạng lũy thừa.

a) 4 . 4 . 4 . 4 . 4

b) 10 . 10 . 10 . 100

c) 2 . 4 . 8 . 8 . 8 . 8

d) x . x . x . x

Dạng 2. Viết 1 số dưới dạng luỹ thừa với số mũ lớn hơn 1

* Phương pháp: Vận dụng công thứca.a..a = an(n thừa số a) (n khác 0)

Bài1.(Bài 58b; 59b trang 28 SGK Toán 6)

58b) Viết mỗi số sau thành bình phương của một số tự nhiên : 64 ; 169 ; 196.

59b) Viết mỗi số sau thành lập phương của một số tự nhiên : 27 ; 125 ; 216.

* Lời giải

58b) 64 = 8.8 = 82;

169 = 13.13 = 132;

196 = 14.14 = 142.

59b) 27 = 3.3,3 = 33;

125 = 5.5.5 = 53;

216 = 6.6.6 = 63.

Bài2. (Bài 61 trang 28 SGK Toán 6) Trong các số sau, số nào là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn 1 (chú ý rằng có những số có nhiều cách viết dưới dạng lũy thừa) : 8, 16, 20, 27, 60, 64, 81, 90, 100.

* Lời giải:

8 = 23; 16 = 42= 24;

27 = 33; 64 = 82 26= 43;

81 = 92= 34; 100 = 102.

Dạng 3. Nhân 2 luỹ thừa cùng cơ số

* Phương pháp: Vận dụng công thức:am. an= am+n

Bài1.(Bài 60 trang 28 SGK Toán 6): Viết kết quả phép tính sau dưới dạng một lũy thừa :

a) 33.34; b) 52.57; c) 75.7.

* Lời giải:

a) 33.34= 33+4= 37;

b) 52.57= 52+7= 59;

c) 75.7 = 75+1= 76

Bài2.(Bài 64 trang 29 SGK Toán 6) Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa :

a) 23.22.24;

b) 102.103.105;

c) x. x5 ;

d) a3.a2.a5;

* Lời giải:

a) 23.22.24= 23+2+4= 29;

b) 102.103.105 =102+3+5= 1010;

c) x.x5= x1+5= x6;

d) a3.a2.a5= a3+2+5= 210;

Bài 3 :Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 48. 220; 912. 275. 814 ; 643. 45. 162

b) 2520. 1254; x7. x4. x3; 36. 46

Dạng 4: Chia 2 luỹ thừa cùng cơ số

* Phương pháp: Vận dụng công thức:am: an= am-n(a 0, m 0)

a) 1255: 253b) 276: 93c) 420: 215

d) 24n: 22ne) 644. 165: 420g)324: 86

Bài 2 :Viết các thương sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 49: 44; 178: 175; 210: 82 ; 1810: 310; 275: 813

b) 106: 100 ; 59: 253; 410: 643; 225: 324: 184: 94

Dạng 5:Một số dạng toán khác

* Phương pháp: Vận dụng 7 tính chất ở trên biến đổi linh hoạt

Khi ôn tập, bảng công thức luỹ thừa là công cụ không thể thiếu đối với các em học sinh THPT. Trong bài viết này, mua.edu.vn sẽ giúp các em tổng hợp tất cả những công thức luỹ thừa lớp 12 cơ bản, sử dụng nhiều trong các bài tập liên quan đến luỹ thừa và hàm số luỹ thừa

Trước khi đi vào chi tiết bộ công thức luỹ thừa, các em hãy cùng mua.edu.vn đánh giá về luỹ thừa và các bài tập áp dụng công thức luỹ thừa lớp 12trong đề thi đại học tại bảng dưới đây:

Để dễ dàng hơn trong ôn tập hằng ngày, các em tải file tổng hợp lý thuyết về luỹ thừa bao gồm toàn bộcác công thức luỹ thừa 12 tại link sau đây:

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết về công thức luỹ thừa

1. Lý thuyết về luỹ thừa - nền tảng của công thức luỹ thừa lớp 12

1.1. Định nghĩa

Công thức luỹ thừa 12 được hình thành từ định nghĩa của luỹ thừa. Các em có thể hiểu đơn giản rằng, lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau.

1.2. Các loại luỹ thừa phát triển từ công thức luỹ thừa 12 cơ bản

Dạng 1: Công thức luỹ thừa lớp 12với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương. Với a là một số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên cũng giống định nghĩa chung về luỹ thừa. Ta có công thức luỹ thừatổng quát như sau:

$a^n=a.a.a.a…..a$ ($n$ thừa số $a$)

Với $a\neq 0$thì $a^0=1$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Lưu ý:

$0^n$ và $0^{-n}$ không có nghĩa

Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Dạng 2: Công thức luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m\in \mathbb{Z}$, $n\in \mathbb{N}$, $n\geq 2$

Luỹ thừa của số $a$ với số mũ $r$ là số $a^r$ xác định bởi:

a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt{a^m}$

Đặc biệt: Khi $m=1$: $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt{a}$

Ví dụ:

Dạng 3: Công thức luỹ thừa với số mũ vô tỉ

Cho $a>0,a\in \mathbb{R}$, là một số vô tỉ, khi đó $a^\alpha =\lim_{n\rightarrow +\infty }a(r^n)$ với $r^n$ là dãy số hữu tỉ thoả mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }r^n=\alpha $

Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực:

1.3. Tính chất của luỹ thừa

Chúng ta cùng xét các tính chất lũy thừa dưới dạng công thức luỹ thừa lớp 12sau:

Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

Tính chất về bất đẳng thức:

So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Rightarrowm>n$Với $0an\Rightarrowm
So sánh cùng số mũ:Với số mũ dương $n>0$: $a>b>0\Rightarrowa^n>b^n$Với số mũ âm $nb>0\Rightarrowa^n

2. Bộ công thức luỹ thừa lớp 12

Về cơ bản, các em cần nắm vững những công thức luỹ thừa lớp 12 căn bản trong bảng sau:

Ngoài ra, luỹ thừa 12 còn có một số công thức luỹ thừakhác trong các trường hợp đặc biệt như luỹ thừa của số e, công thức luỹ thừa của một luỹ thừa, cụ thể như sau:

Luỹ thừa của số $e$:

Số $e$ là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số $e$ được định nghĩa qua giới hạn sau:

$e=\lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^n$

Hàm $e$ mũ, được định nghĩa bởi$e=\lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^n$ở đây $x$ được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa $e^{x+y}=e^x.e^y$

Hàm $e$ mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của $x$.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm $e$ mũ với $x$ là số nguyên dương k chính là $e^k$như sau:

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng $e^{x+y}$thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi $x$ và $y$ là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các công thức luỹ thừa 12 có sốkhông phải là số nguyên dương.

Hàm luỹ thừa với số mũ thực:

Công thức lũy thừa 12 với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên $ln(x)$ là hà ngược của hàm $e$ mũ $e^x$. Theo đó $lnx$ là số $b$ sao cho $x=e^b$

Nếu a là số thực dương, $x$ là số thực bất kỳ ta có $a=elna$ nên nếu $a^x$ được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:

$a^x=(e^{lna})^x=e^{x.lna}$

Điều này dẫn tới định nghĩa công thức luỹ thừa: $a^x=e^{x.lna}$ với mọi số thực $x$ và số thực dương $a$.

Trên đây là tổng hợp toàn bộ lý thuyết vàcông thức luỹ thừa cần nhớ. Chúc các em ôn tập thật tốt nhé!